Максим Болдырев является воспитанником липецкого футбола. В июле 2022 года атакующий хавбек дебютировал за местный «Металлург» на профессиональном уровне и впоследствии провёл в рядах этого клуба 46 матчей во втором дивизионе — забил один гол и отдал пять результативных передач.

Также в сезоне 2023 Болдырев помог своей родной команде повыситься в классе: липецкий «Металлург» занял третью строчку в дивизионе «Серебро» Второй лиги-А и теперь весной будет бороться за выход в Лучшую Лигу Мира в «Золоте».

В «Акроне» — с февраля 2024 года.