Константин Савичев является воспитанником брянского футбола. До перехода на профессиональный уровень игрок получал футбольное образование на малой родине и в школе раменского «Сатурна». На протяжении последующих семи лет Константин находился в системе московского «Спартака». Савичев выиграл молодежное первенство РПЛ (2012/13) и Олимп-ПФЛ (2014/15) в рядах молодёжных команд столичного клуба.

С 2017 по 2019 годы футболист выступал в элите российского футбола за «СКА-Хабаровск», махачкалинский «Анжи» и красноярский «Енисей»: всего – 40 матчей в РПЛ. Последние два сезона перед переездом в Тольятти Савичев защищал цвета сибирских «львов» и песчанокопской «Чайки» в Олимп-ФНЛ – 60 матчей и 10 забитых мячей.

Константин Савичев перешёл в «Акрон» летом 2021 года и за четыре сезона помог красно-чёрным дойти до финала Пути Регионов FONBET Кубка России, выйти в МИР РПЛ и занять девятое место по итогам дебютного розыгрыша премьер-лиги.

Константин является одним из рекордсменов «Акрона» по числу сыгранных матчей: он идёт на третьем месте за всю историю после Сергея Волкова и Ивана Чудина. В дебютном сезоне тольяттинцев в МИР РПЛ Савичев сыграл с капитанской повязкой в 26 матчах, записав на свой счёт 1+1 по системе «гол+пас».